18. c. 3
19. d. –6
Pembahasan
Nomor 18
Akar kubik dari sebuah bilangan bulat yang bukan merupakan bilangan kubik sempurna dapat diperoleh dengan metode pendekatan dari bilangan kubik terbesar yang kurang dari bilangan tersebut.
Diberikan: akar kubik dari 2 sebagai pecahan berlanjut (pecahan kontinu):
[tex]\begin{aligned}\sqrt[3]{2}&=a+\frac{1}{b+\dfrac{1}{c+\dfrac{1}{d+\ddots}}}\end{aligned}[/tex]
Karena a, b, c, d ∈ ℕ, untuk a, kita harus memilih bilangan kubik terbesar yang kurang dari 2.
Oleh karena itu, a = 1.
[tex]\begin{aligned}\sqrt[3]{2}&={\bf1}+\frac{1}{b+\dfrac{1}{c+\dfrac{1}{d+\ddots}}}\\&={\bf1}+\frac{\sqrt[3]{2}-1}{1}\\&\ \rightsquigarrow\left[\ x^3-y^3=(x-y)(x^2+y^2+xy)\ \right]\\&={\bf1}+\frac{\left(\sqrt[3]{2}-1\right)\left(\sqrt[3]{2^2}+1+\sqrt[3]{2}\right)}{\sqrt[3]{2^2}+1+\sqrt[3]{2}}\\&={\bf1}+\frac{\left(\sqrt[3]{2}\right)^3-1}{\sqrt[3]{4}+1+\sqrt[3]{2}}\\&={\bf1}+\frac{2-1}{1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}\\&={\bf1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}\\\end{aligned}[/tex]
Diperoleh:
[tex]\begin{aligned}\frac{1}{b\:+\:\dfrac{1}{c+\dfrac{1}{d+\ddots}}}&=\frac{1}{1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}\\\end{aligned}[/tex]
Karena [tex]1 < \sqrt[3]{2} < 2[/tex], [tex]1 < \sqrt[3]{4} < 2[/tex], dan [tex]\displaystyle 0 < \frac{1}{b+\dfrac{1}{c+\dfrac{1}{d+\ddots}}} < 1[/tex], maka:
[tex]\begin{aligned}3 < 1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4} < 4\end{aligned}[/tex]
sehingga:
[tex]\begin{aligned}\frac{1}{\boxed{\:\bf b\:}+\dfrac{1}{c+\dfrac{1}{d+\ddots}}}&=\frac{1}{\boxed{\:\bf3\:}+\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}-2\right)}\\\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]
KESIMPULAN
∴ Nilai b = 3.
..............................................
Nomor 19
Diketahui
a, b, c, d, e merupakan angka-angka berbeda yang diambil dari {–10, –9, ..., 9, 10}, dan memenuhi sistem persamaan:
[tex]\begin{cases}a-b=2&...(i)\\c-b=-3&...(ii)\\c-d=4&...(iii)\\e-d=-5&...(iv)\end{cases}[/tex]
Ditanyakan
Nilai terkecil dari [tex]a+e[/tex] yang mungkin
PENYELESAIAN
Dari persamaan [tex](i)[/tex] dan [tex](ii)[/tex], dapat diperoleh:
[tex]\begin{aligned}a-b&=2\\c-b&=-3\\\textsf{--------}&\textsf{---------}\ -\\a-c&=5\\\Rightarrow c&=a-5\quad...(v)\end{aligned}[/tex]
Substitusi persamaan [tex](v)[/tex] ke dalam [tex](iii)[/tex].
[tex]\begin{aligned}c-d&=4\\(v)\to a-5-d&=4\\\Rightarrow\ a-d&=9\quad...(vi)\end{aligned}[/tex]
Kurangkan persamaan [tex](iv)[/tex] dari [tex](vi)[/tex].
[tex]\begin{aligned}a-d&=9\\e-d&=-5\\\textsf{--------}&\textsf{---------}\ -\\a-e&=14\\\Rightarrow a&=e+14\quad...(vii)\\\end{aligned}[/tex]
Karena [tex]a = e + 14[/tex], maka [tex]a + e = 2e + 14[/tex].
Nilai terkecil yang dapat dipilih dari himpunan {–10, –9, ..., 9, 10} adalah –10. Oleh karena itu, kita pilih [tex]e=\bf{-}10[/tex].
Dengan demikian:
[tex]\begin{aligned}\min(a + e) &= -20 + 14\\\therefore\ \min(a + e)&=\boxed{\ \bf{-}6\ }\end{aligned}[/tex]
Apakah nilai [tex]e = -10[/tex] yang telah kita pilih di atas memenuhi sistem persamaan dengan batasan nilai pada himpunan di atas? Mari kita periksa.
[tex]\begin{aligned}(vii):\ &a=e+14\\&\Rightarrow a=-10+14\\&\Rightarrow a=\bf4\\(iv):\ &e-d=-5\\&\Rightarrow {-}10-d=-5\\&\Rightarrow d=\bf-5\\(iii):\ &c-d=4\\&\Rightarrow c-(-5)=4\\&\Rightarrow c=\bf-1\\(ii):\ &c-b=-3\\&\Rightarrow -1-b=-3\\&\Rightarrow b=\bf2\\(i):\ &a-b=2\\&\Rightarrow 4-2=2\\&\Rightarrow \rm BENAR!\\\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]
KESIMPULAN
∴ Karena telah terbukti semua nilai a, b, c, d, dan e memenuhi sistem persamaan di atas, dan merupakan anggota dari {–10, –9, ..., 9, 10}, dapat disimpulkan bahwa nilai terkecil dari a+e yang mungkin adalah –6.
[answer.2.content]
